Пусть:
x (книг) − на первой полке;
y (книг) − на второй полке.
Так как, на двух полках 55 книг, составим первое уравнение:
x + y = 55
Так как, если переставить со второй полки половину книг на первую, то на первой станет в 4 раза больше книг, чем останется на второй, составим второе уравнение:
4(y − 0,5y) = x + 0,5y
Составим систему уравнений:

1,5(55 − x) − x = 0
82,5 − 1,5x − x = 0
2,5x = 82,5
x = 33 (книги) − на первой полке;
y = 55 − x = 55 − 33 = 22 (книги) − на второй полке.
Ответ: 33 книги и 22 книги.